मान लीजिए कि alpha एक शून्येतर वास्तविक संख्य | vedclass

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Question

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ है।
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$2$

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(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-\alpha x}] = 3 e^{-\alpha x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) e^{-\alpha x} = \int 3 e^{-\alpha x} dx = -\frac{3}{\alpha} e^{-\alpha x} + C$.
अतः,$f(x) = -\frac{3}{\alpha} + C e^{\alpha x}$ है।
दिया गया है $f(0) = 2$,इसलिए $2 = -\frac{3}{\alpha} + C$,जिसका अर्थ है $C = 2 + \frac{3}{\alpha}$।
दिया गया है $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 1$।
यदि $\alpha > 0$ है,तो $x \rightarrow -\infty$ के लिए $e^{\alpha x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow -\frac{3}{\alpha} = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = -3$। यह $\alpha > 0$ के साथ विरोधाभास है।
यदि $\alpha < 0$ है,तो $x \rightarrow -\infty$ के लिए $e^{\alpha x} \rightarrow \infty$। सीमा $1$ होने के लिए,$e^{\alpha x}$ का गुणांक $0$ होना चाहिए।
इसलिए $C = 0$,जिसका अर्थ है $2 + \frac{3}{\alpha} = 0$,अर्थात $\alpha = -\frac{3}{2}$।
तब $f(x) = -\frac{3}{-3/2} = 2$। चूँकि $f(x) = 2$ एक अचर फलन है,इसलिए $f'(x) = 0$। समीकरण $f'(x) = \alpha f(x) + 3$ में मान रखने पर $0 = (-3/2)(2) + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो संगत है।
अतः सभी $x$ के लिए $f(x) = 2$ है।
इसलिए,$f(-\log_e 2) = 2$।

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