मान लीजिए beta(m, n) = int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx$ है। मान लीजिए $x^{10} = t$,तो $x = t^{1/10}$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$dx = \frac{1}{10} t

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$2120$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx$ है। मान लीजिए $x^{10} = t$,तो $x = t^{1/10}$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$dx = \frac{1}{10} t^{1/10 - 1} dt = \frac{1}{10} t^{-9/10} dt$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_0^1 (1-t)^{20} \cdot \frac{1}{10} t^{-9/10} dt = \frac{1}{10} \int_0^1 t^{-9/10} (1-t)^{20} dt$। परिभाषा $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ से तुलना करने पर: $m-1 = -9/10 \implies m = 1/10$ और $n-1 = 20 \implies n = 21$। अतः,$I = \frac{1}{10} \beta(1/10, 21)$। $a 	imes \beta(b, c)$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1/10$,$b = 1/10$,और $c = 21$ प्राप्त होता है। अंत में,$100(a+b+c) = 100(1/10 + 1/10 + 21) = 100(0.2 + 21) = 100(21.2) = 2120$।

मान लीजिए $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,जहाँ $m, n > 0$ है। यदि $\int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx = a \times \beta(b, c)$ है,तो $100(a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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