ધારો કે $f(x)=x^2+9$,$g(x)=\frac{x}{x-9}$,$a=f(g(10))$,અને $b=g(f(3))$ છે. જો $e$ અને $l$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય,તો $8e^2+l^2$ ની કિંમત શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ $x$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}+\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને અને $y$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}-\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને મળે છે,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક ઉપવલયમાં,એક નાભિથી તેના અનુરૂપ મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુ સુધીનું અંતર $4-\sqrt{7}$ છે અને તે જ નાભિથી ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ સુધીનું અંતર $4$ છે. તો તેના ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુએ તેની નાભિઓને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા બનતા ખૂણાનો કોસાઇન (cosine) શોધો.

વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ ના કેન્દ્ર પર છે. ધારો કે $C$ એ $E$ ના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે જેથી વર્તુળ $C$ અને ઉપવલય $E$ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ આ ચાર બિંદુઓમાંથી એક છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય અને $E$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય,તો $E$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

શંકુ $16x^2 + 7y^2 = 112$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જો રેખા $3x + 4y + k = 0$ એ ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ ને સ્પર્શતી હોય, તો $k$ નું મૂલ્ય છે: