ધારો કે f: R rightarrow R, g: R rightarrow R | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f(x)=x^3+3x+2$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે. $g(f(x))=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $g'(f(x)) \cdot f'(x)=

Vedclass · Accepted Answer

$BC$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f(x)=x^3+3x+2$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે. $g(f(x))=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $g'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ મળે છે. $g'(2)$ માટે,આપણે $f(x)=2 \implies x^3+3x+2=2 \implies x^3+3x=0 \implies x(x^2+3)=0$ લઈએ,તેથી $x=0$. આમ $g'(2) \cdot f'(0)=1$. $f'(x)=3x^2+3$ હોવાથી,$f'(0)=3$. તેથી $g'(2) = \frac{1}{3}$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે. આપેલ છે $h(g(g(x)))=x$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g(g(f(f(x))))=x$,જે સૂચવે છે કે $g(g(x))=f(f(x))$. તેથી $h(f(f(x)))=x$. આનો અર્થ એ છે કે $h$ એ $f(f(x))$ નું પ્રતિવિધેય છે. પરંતુ,પ્રશ્ન કહે છે કે $h(g(g(x)))=x$. $g(g(x))=f^{-1}(f^{-1}(x))$ હોવાથી,આપણી પાસે $h(f^{-1}(f^{-1}(x)))=x$ છે. ધારો કે $f^{-1}(x)=y$,તો $f(y)=x$. સમીકરણ $h(f^{-1}(y))=f(y)$ બને છે. ધારો કે $f^{-1}(y)=z$,તો $y=f(z)$. તેથી $h(z)=f(f(z))$. આમ $h(x)=f(f(x))$. હવે,$h'(x)=f'(f(x)) \cdot f'(x)$. $h'(1)=f'(f(1)) \cdot f'(1)$. $f(1)=1^3+3(1)+2=6$ અને $f'(x)=3x^2+3$ હોવાથી,$f'(1)=6$ અને $f'(6)=3(6^2)+3=111$. $h'(1)=111 	imes 6=666$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે. $h(0)=f(f(0))=f(2)=2^3+3(2)+2=16$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે. $h(g(3))=f(f(g(3)))=f(3)=3^3+3(3)+2=38$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે. તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $C$ છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R, g: R \rightarrow R$ અને $h: R \rightarrow R$ વિકલનીય વિધેયો છે જેથી $f(x)=x^3+3x+2, g(f(x))=x$ અને $h(g(g(x)))=x$ તમામ $x \in R$ માટે. તો

Similar Questions

જો $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય (inverse function) હોય અને $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^4}$ હોય,તો $g^{\prime}(x)$ શું થાય?

જો વિધેય $f : R \to R$ એ $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$,જ્યાં $(a > 0, a \neq 1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f^{-1}(x)$ શું થાય?

જો $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 5}$ $(x \ne -5)$ હોય,તો $f^{-1}(x)$ બરાબર શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module