ધારો કે $m$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે કે જેથી $(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots+(1+x)^{49}+(1+mx)^{50}$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક કોઈ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(3n+1)^{51}C_3$ થાય. તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\left(\frac{\sqrt{x}}{5^{1/4}}+\frac{\sqrt{5}}{x^{1/3}}\right)^{60}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{10}$ નો સહગુણક $5^k l$ હોય,જ્યાં $l, k \in N$ અને $l$ એ $5$ સાથે પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

${\left( {2x - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^{12}}$ માં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

$x$ ની એક શક્ય કિંમત શોધો,જેના માટે $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ ની વધતી જતી ઘાતમાં નવમું પદ $180$ થાય.

જ્યારે $x = \frac{1}{3}$ અને $y = \frac{1}{2}$ હોય ત્યારે $(2x - 3y)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ કયું છે?

જો $(x - 2y + 3z)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $128$ હોય,તો $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક કયો છે?