मान लीजिए f: R rightarrow (0,1) एक सतत फलन है | vedclass

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Question

(A) विकल्प $[A]$ के लिए,मान लीजिए $g(x) = e^x - \int_0^x f(t) \sin t \, dt$ है। चूँकि $f(t) \in (0,1)$ और $\sin t \in [0,1]$ है,इसलिए समाकलन $\int_0^x

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$B, D$

Vedclass · Answer

(A) विकल्प $[A]$ के लिए,मान लीजिए $g(x) = e^x - \int_0^x f(t) \sin t \, dt$ है। चूँकि $f(t) \in (0,1)$ और $\sin t \in [0,1]$ है,इसलिए समाकलन $\int_0^x f(t) \sin t \, dt  e^x - x$ है। चूँकि $e^x - x > 0$ है,इसलिए $g(x)$ कभी शून्य नहीं हो सकता।विकल्प $[B]$ के लिए,मान लीजिए $h(x) = x^9 - f(x)$ है। चूँकि $f(x) \in (0,1)$ है,इसलिए $h(0) = -f(0)  0$ है। Intermediate Value Theorem $(IVT)$ के अनुसार,कोई $c \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $h(c) = 0$ है।विकल्प $[C]$ के लिए,मान लीजिए $k(x) = f(x) + \int_0^{\pi/2} f(t) \sin t \, dt$ है। चूँकि $f(x) > 0$ और समाकलन धनात्मक है,इसलिए $k(x) > 0$ है। अतः यह शून्य नहीं हो सकता।विकल्प $[D]$ के लिए,मान लीजिए $m(x) = x - \int_0^{\pi/2 - x} f(t) \cos t \, dt$ है। चूँकि $m(0)  0$ है,$IVT$ के अनुसार कोई $c \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $m(c) = 0$ है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow (0,1)$ एक सतत फलन है। तो,निम्नलिखित में से किस फलन का मान अंतराल $(0,1)$ में किसी बिंदु पर शून्य है?

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यदि $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$,$x \in R$ है,तो $\sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

नीचे दिए गए चार कथनों में से कौन सा कथन दूसरों से भिन्न है?

यदि $R \subset A \times B$ तथा $S \subset B \times C$ है,तो संबंध $(SoR)^{-1} = $

फलन $f(x) = \sin x + \tan x + \operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10)$ है (जहाँ $\operatorname{sgn}$ साइनम फलन है):

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