मान लीजिए $|X|$ समुच्चय $X$ में तत्वों की संख्या को दर्शाता है। मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है,जहाँ प्रत्येक तत्व के घटित होने की संभावना समान है। यदि $A$ और $B$ $S$ से जुड़ी स्वतंत्र घटनाएँ हैं,तो क्रमित युग्मों $(A, B)$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $1 \leq |B| < |A|$ हो।

मान लीजिए $X_n = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ और $X_n$ का एक उपसमुच्चय $A$ इस प्रकार चुना जाता है कि $A$ के प्रत्येक दो तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। (उदाहरण के लिए,यदि $n = 5$ है,तो $A$ अन्य के अलावा $\phi, \{2\}$ या $\{1, 5\}$ हो सकता है)। जब $n = 10$ है,तो $1 \in A$ होने की प्रायिकता $p$ है और $2 \in A$ होने की प्रायिकता $q$ है। तब,

एक क्लब-टीम के $15$ फुटबॉल खिलाड़ियों को उनकी पीठ पर नाम लिखी हुई $15$ टी-शर्ट दी जाती हैं। यदि खिलाड़ी यादृच्छिक रूप से टी-शर्ट चुनते हैं,तो कम से कम $3$ खिलाड़ियों द्वारा सही टी-शर्ट चुनने की प्रायिकता क्या है?

दो व्यक्ति $A$ और $B$ बारी-बारी से एक निष्पक्ष पासा (जिसके फलकों पर $1$ से $6$ तक अंक अंकित हैं) फेंकते हैं,जिसकी शुरुआत $A$ करता है। जो व्यक्ति प्रतिद्वंद्वी द्वारा फेंके गए पिछले परिणाम से भिन्न परिणाम प्राप्त करता है,वह जीत जाता है। $B$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

ताश के एक पैकेट में $4$ इक्के,$4$ राजा,$4$ रानी और $4$ गुलाम हैं। यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि उनमें से कम से कम एक इक्का हो?

यदि $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग $\xi$ का प्रतिदर्श समष्टि है और $P$ एक प्रायिकता फलन है जो $S$ के घात समुच्चय $\mathcal{P}(S)$ पर परिभाषित है,तो निम्नलिखित में से कौन सा $P$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है?
$(i)$ $P(\phi) = 0$
(ii) यदि $E^c$,$E$ की पूरक घटना है,तो $P(E^c) = 1 - P(E)$
(iii) $0 \leq P(E) \leq 1, \forall E \subseteq S$
(iv) यदि $E_1 \subseteq E_2$,तो $P(E_2) \leq P(E_1)$