मान लीजिए M और N दो 3 times 3 आव्यूह हैं जैसे | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $MN = NM$ और $M^2 = N^4$ है।इसका अर्थ है $M^2 - N^4 = 0$,जिसे $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है क्योंकि

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$(A, B)$

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(C) दिया गया है कि $MN = NM$ और $M^2 = N^4$ है।इसका अर्थ है $M^2 - N^4 = 0$,जिसे $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है क्योंकि $M$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं।चूंकि $M 
eq N^2$,आव्यूह $(M - N^2)$ आवश्यक रूप से शून्य आव्यूह नहीं है,लेकिन गुणनफल $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ यह दर्शाता है कि गुणनफल का सारणिक शून्य है:$|M - N^2| \cdot |M + N^2| = 0$।दिए गए तर्क के अनुसार,किसी भी स्थिति में $|M + N^2| = 0$ है।अब,व्यंजक $M^2 + MN^2 = M(M + N^2)$ पर विचार करें।इसका सारणिक $|M^2 + MN^2| = |M| \cdot |M + N^2| = |M| \cdot 0 = 0$ है।अतः,$(A)$ सही है।चूंकि $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $(M^2 + MN^2)$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है।इसलिए,एक शून्येतर आव्यूह $U$ मौजूद है जिससे $(M^2 + MN^2)U = 0$ (क्योंकि $|A| = 0$ होने पर रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के शून्येतर हल होते हैं)।अतः,$(B)$ सही है।$(C)$ गलत है क्योंकि सारणिक $0$ है।$(D)$ गलत है क्योंकि एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$AU = 0$ का अर्थ यह नहीं है कि $U = 0$ (शून्येतर हल मौजूद होते हैं)।इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

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