समुच्चय $\{0, 1, 2, 3\}$ से अवयव लेने वाले $3 \times 3$ आव्यूहों $A$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि $AA^{T}$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग $9$ हो।

यदि $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है,इस प्रकार कि $(A-2I)(A-4I)=0$,तो $\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1}$ का मान क्या है? (जहाँ $I$ कोटि $3$ का इकाई आव्यूह है और $0$ कोटि $3$ का शून्य आव्यूह है)।

कुछ $\alpha, \beta \in R$ के लिए, मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \beta \end{bmatrix}$ इस प्रकार हैं कि $A^{2} - 4A + 2I = B^{2} - 3B + I = O$ है। तब $(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2}$ का मान .... है।

मान लीजिए कि $m$ और $M$ क्रमशः $\left|\begin{array}{ccc}\cos ^{2} x & 1+\sin ^{2} x & \sin 2 x \\ 1+\cos ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin 2 x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं। तो क्रमित युग्म $(m, M)$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix}$ है। तो आव्यूह $(A + I)^{11}$ के विकर्ण तत्वों का योग क्या होगा?

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ है,तो $\det(A^4) + \det(A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10})$ का मान ........ के बराबर है।