मान लीजिए vec{a}, vec{b} और vec{c} तीन असमतली | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं और उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c

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$4$

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(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं और उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.दिया गया समीकरण $p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c} = \vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c}$ है।क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:$1$) $\vec{a} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c}) \Rightarrow p + \frac{q}{2} + \frac{r}{2} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.$2$) $\vec{b} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c}) \Rightarrow \frac{p}{2} + q + \frac{r}{2} = 0$.$3$) $\vec{c} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c}) \Rightarrow \frac{p}{2} + \frac{q}{2} + r = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.$(1)$ और $(3)$ से,$p + \frac{q}{2} + \frac{r}{2} = \frac{p}{2} + \frac{q}{2} + r \Rightarrow p = r$.$r = p$ को $(2)$ में रखने पर: $\frac{p}{2} + q + \frac{p}{2} = 0 \Rightarrow p + q = 0 \Rightarrow q = -p$.अब,$\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2} = \frac{p^2 + 2(-p)^2 + p^2}{(-p)^2} = \frac{p^2 + 2p^2 + p^2}{p^2} = \frac{4p^2}{p^2} = 4$.

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$i + aj + k$,$j + ak$ और $ai + k$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $a$ का मान क्या होगा?

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