ધારો કે f:[0,2] rightarrow R એ એક વિધેય છે જે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$. લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ મળે.આપ

Vedclass · Accepted Answer

$e^4-1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$. લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ મળે.આપેલ છે કે $F'(x) = f'(x)$,તેથી $f'(x) = 2x f(x)$ થાય.આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x^2 + C$ મળે.$f(0) = 1$ હોવાથી,$\ln(1) = 0^2 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.આમ,$\ln(f(x)) = x^2$,જે આપણને $f(x) = e^{x^2}$ આપે છે.હવે,$F(x) = \int_0^{x^2} e^{(\sqrt{t})^2} dt = \int_0^{x^2} e^t dt = [e^t]_0^{x^2} = e^{x^2} - e^0 = e^{x^2} - 1$.તેથી,$F(2) = e^{2^2} - 1 = e^4 - 1$.

Similar Questions

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module