मान लीजिए कि m और n दो धनात्मक पूर्णांक हैं ज | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा: $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{e^{\cos(\alpha^n)} - e}{\alpha^m} = -\frac{e}{2}$.अंश से $e$ कॉमन लेने पर: $\lim_{\alpha \righta

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(B) दिया गया सीमा: $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{e^{\cos(\alpha^n)} - e}{\alpha^m} = -\frac{e}{2}$.अंश से $e$ कॉमन लेने पर: $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{e(e^{\cos(\alpha^n)-1} - 1)}{\alpha^m} = -\frac{e}{2}$.मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = \cos(\alpha^n) - 1$ लें।अतः,$e \cdot \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{\cos(\alpha^n) - 1}{\alpha^m} = -\frac{e}{2}$.$\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ श्रेणी का उपयोग करने पर,$\cos(\alpha^n) - 1 \approx -\frac{\alpha^{2n}}{2}$.इस प्रकार,$\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{-\alpha^{2n}}{2\alpha^m} = -\frac{1}{2}$.सीमा के अस्तित्व के लिए $2n = m$ होना आवश्यक है।अतः,$\frac{m}{n} = 2$.

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