ધારો કે F: R rightarrow R એ ત્રણ વાર વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A-D) $1.$ આપેલ છે કે $f(x) = x F(x)$,તેથી $f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$.
$x=1$ આગળ,$f^{\prime}(1) = F(1) + 1 \cdot F^{\prime}(1) = 0 + F^

Vedclass · Accepted Answer

$(ABC, CD)$

Vedclass · Answer

(A-D) $1.$ આપેલ છે કે $f(x) = x F(x)$,તેથી $f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$.
$x=1$ આગળ,$f^{\prime}(1) = F(1) + 1 \cdot F^{\prime}(1) = 0 + F^{\prime}(1) = F^{\prime}(1)$. કારણ કે $F^{\prime}(x) < 0$,તેથી $f^{\prime}(1) < 0$. આમ $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ માટે,$f(2) = 2 F(2)$. કારણ કે $F(1)=0$ અને $(1/2, 3)$ પર $F^{\prime}(x) < 0$ છે,તેથી $F(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. આમ $F(2) < F(1) = 0$,તેથી $f(2) < 0$. આમ $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ અને $(D)$ માટે,$f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$. કારણ કે $x \in (1, 3)$ માટે $F(x) < 0$ અને $F^{\prime}(x) < 0$ છે,તેથી તમામ $x \in (1, 3)$ માટે $f^{\prime}(x) < 0$. આમ $f^{\prime}(x) 
eq 0$. આમ $(C)$ સાચું છે.
$1$ માટે સાચા વિકલ્પો: $(A, B, C)$.
$2.$ $\int_1^3 f(x) dx = \int_1^3 x F(x) dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\left[ \frac{x^2}{2} F(x) ight]_1^3 - \int_1^3 \frac{x^2}{2} F^{\prime}(x) dx = \frac{9}{2}(-4) - 0 - \frac{1}{2}(-12) = -18 + 6 = -12$. આમ $(D)$ સાચું છે.
$(A)$ અને $(C)$ માટે,$\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = [x^3 F^{\prime}(x)]_1^3 - 3 \int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = 27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) - 3(-12) = 40$.
$27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) + 36 = 40 \Rightarrow 27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) = 4$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$,$f^{\prime}(3) = F(3) + 3 F^{\prime}(3) = -4 + 3 F^{\prime}(3)$ અને $f^{\prime}(1) = F(1) + F^{\prime}(1) = F^{\prime}(1)$.
$9 f^{\prime}(3) - f^{\prime}(1) = 9(-4 + 3 F^{\prime}(3)) - F^{\prime}(1) = -36 + 27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) = -36 + 4 = -32$.
તેથી $9 f^{\prime}(3) - f^{\prime}(1) + 32 = 0$. આમ $(C)$ સાચું છે.
$2$ માટે સાચા વિકલ્પો: $(C, D)$.

Similar Questions

ધારો કે $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$. જો તમામ $n \geq 1$ માટે $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ હોય, તો

ધારો કે $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ અને $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. તો:

જો $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module