ધારો કે f: R rightarrow R એ f(x)=begin{cases} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} [x], & x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases}$.આપણે $I = \int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} [x], & x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases}$.આપણે $I = \int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$x \in [-1, 2]$ માટે,$x^2 \in [0, 4]$.જો $x^2 \leq 2$,તો $f(x^2) = [x^2]$. જો $x^2 > 2$,તો $f(x^2) = 0$.$x^2 \leq 2 \implies x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.સંકલન $-1$ થી $2$ હોવાથી,આપણે તેને વિભાજિત કરીએ:$x \in [-1, \sqrt{2}]$ માટે,$f(x^2) = [x^2]$. $x \in (\sqrt{2}, 2]$ માટે,$f(x^2) = 0$.વળી,$f(x+1) = [x+1]$ જ્યારે $x \leq 1$,અને $f(x+1) = 0$ જ્યારે $x > 1$.આમ,$I = \int_{-1}^1 \frac{x [x^2]}{2+[x+1]} dx + \int_1^{\sqrt{2}} \frac{x [x^2]}{2+0} dx + \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{x \cdot 0}{2+0} dx$.$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x^2] = 0$,તેથી પ્રથમ ભાગ $\int_{-1}^0 0 dx = 0$ છે.$x \in [0, 1)$ માટે,$[x^2] = 0$,તેથી $\int_0^1 0 dx = 0$.$x \in [1, \sqrt{2}]$ માટે,$[x^2] = 1$,તેથી $\int_1^{\sqrt{2}} \frac{x \cdot 1}{2} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_1^{\sqrt{2}} = \frac{1}{4} (2-1) = \frac{1}{4}$.આમ $I = \frac{1}{4}$.તેથી $4I - 1 = 4(\frac{1}{4}) - 1 = 0$.

Similar Questions

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ હોય,તો $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module