લક્ષ lim _{n rightarrow infty} int _{0}^{1} x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^{10}$ અને $dv = \sin (n x) dx$ લો. તેથી $du = 10 x^9 dx$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^{10}$ અને $dv = \sin (n x) dx$ લો. તેથી $du = 10 x^9 dx$ અને $v = -\frac{\cos (n x)}{n}$ મળે. $I_n = \left[ -\frac{x^{10} \cos (n x)}{n} \right]_{0}^{1} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$. $I_n = -\frac{\cos n}{n} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$. કારણ કે $|\cos (n x)| \le 1$,તેથી $\left| \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x \right| \le \int _{0}^{1} x^9 dx = \frac{1}{10}$. તેથી,$|I_n| \le \left| -\frac{\cos n}{n} \right| + \frac{10}{n} \cdot \frac{1}{10} = \frac{|\cos n|}{n} + \frac{1}{n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{2}{n} \rightarrow 0$. સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} I_n = 0$.

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module