मान लीजिए bar{z} एक सम्मिश्र संख्या z का सम्म | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ प्राप्त होता है।अतः,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i

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$4$

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(C) दिया गया है,$\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ प्राप्त होता है।अतः,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z^2 = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}z^2 = \frac{2i}{2}z^2 = iz^2$.मान लीजिए $z = x+iy$,तो $\bar{z} = x-iy$.$\bar{z} = iz^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x-iy = i(x+iy)^2 = i(x^2-y^2+2ixy) = -2xy + i(x^2-y^2)$.वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:$x = -2xy \Rightarrow x(1+2y) = 0$.$-y = x^2-y^2 \Rightarrow x^2 = y^2-y$.स्थिति $I$: यदि $x=0$,तो $y^2-y=0$,अतः $y=0$ या $y=1$। इससे $z=0$ और $z=i$ मूल प्राप्त होते हैं।स्थिति $II$: यदि $y=-\frac{1}{2}$,तो $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$,अतः $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$। इससे $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ और $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ मूल प्राप्त होते हैं।कुल $4$ भिन्न मूल हैं।

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