समीकरण $z^2 + \bar{z} = 0$ के हलों की संख्या है

$(1+i)^5(1-i)^7$ का मान है:

$\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}$ का मान क्या है?

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg(z)$ मुख्य कोणांक को दर्शाता है जहाँ $-\pi < \arg(z) \leq \pi$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $FALSE$ (असत्य) है/हैं?
$(A)$ $\arg(-1-i) = \frac{\pi}{4}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$
$(B)$ फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi, \pi]$,जो $f(t) = \arg(-1+it)$ द्वारा परिभाषित है,$\mathbb{R}$ के सभी बिंदुओं पर सतत है,जहाँ $i = \sqrt{-1}$
$(C)$ किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) - \arg(z_1) + \arg(z_2)$,$2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज है।
$(D)$ किन्हीं तीन दिए गए भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिए,$\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ शर्त को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ एक सीधी रेखा पर स्थित है।

यदि $\cos \alpha+3 \cos 3 \beta+5 \cos 5 \gamma=0$,$\sin \alpha+3 \sin 3 \beta+5 \sin 5 \gamma=0$ और $\cos 3 \alpha+27 \cos 9 \beta+125 \cos 15 \gamma=\left(\lambda^2-4\right) \cos (\alpha+3 \beta+5 \gamma)$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $Z_1 = \sqrt{3} + i \sqrt{3}$ और $Z_2 = \sqrt{3} + i$,और $\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = x + iy$ है,तो बिंदु $(x, y)$ किस चतुर्थांश में स्थित है?