माना f: R rightarrow R एक फलन है जो इस प्रकार | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}ight)$ जहाँ $x 
eq 0$ और $f(0) = 0$ है।$f(x) = 0$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 \sin \left(

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$f(x) = 0$ के अंतराल $\left(\frac{1}{\pi^2}, \frac{1}{\pi}\right)$ में $25$ से अधिक हल हैं।

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2} ight)$ जहाँ $x eq 0$ और $f(0) = 0$ है।$f(x) = 0$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2} ight) = 0$ रखते हैं।इसका अर्थ है $x = 0$ या $\sin \left(\frac{\pi}{x^2} ight) = 0$ है।अतः,$\frac{\pi}{x^2} = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{N}$,जिससे $x^2 = \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है,या $x = \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ है।विकल्प-$A$ की जाँच: $x \in \left[\frac{1}{10^{10}}, \infty ight)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} \leq 10^{10} \implies n \leq 10^{20}$ है। यह हलों की एक परिमित संख्या है।विकल्प-$B$ की जाँच: $x \in \left(\frac{1}{\pi}, \infty ight)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\pi} \implies \sqrt{n} विकल्प-$C$ की जाँच: $x \in \left(0, \frac{1}{10^{10}} ight)$ के लिए,हमारे पास $0 10^{10} \implies n > 10^{20}$ है। ऐसे अनंत $n$ संभव हैं,इसलिए हलों का समुच्चय अनंत है।विकल्प-$D$ की जाँच: $x \in \left(\frac{1}{\pi^2}, \frac{1}{\pi} ight)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\pi^2} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\pi} \implies \pi < \sqrt{n} < \pi^2 \implies \pi^2 < n < \pi^4$ है। चूँकि $\pi^2 \approx 9.86$ और $\pi^4 \approx 97.4$ है,$n$ का मान $10$ से $97$ तक हो सकता है। हलों की संख्या $97 - 10 + 1 = 88$ है,जो $25$ से अधिक है। अतः,विकल्प-$D$ $TRUE$ (सत्य) है।

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