मान लीजिए f: R rightarrow R एक दो बार अवकलनीय | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$। यह फलन समीकरण $f(x) = e^{\lambda x}$ को दर्शाता है।चूंकि $f^{\prime}(x) = \lambda e^{\lambda x}$,इसलिए $

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$e^4 - 1$

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(C) दिया गया है $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$। यह फलन समीकरण $f(x) = e^{\lambda x}$ को दर्शाता है।चूंकि $f^{\prime}(x) = \lambda e^{\lambda x}$,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lambda = 4a$ है।अतः,$f(x) = e^{4ax}$।अब,$f(x) = e^{4ax}$ को अवकल समीकरण $f^{\prime \prime}(x) - 3a f^{\prime}(x) - f(x) = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f^{\prime}(x) = 4a e^{4ax}$ और $f^{\prime \prime}(x) = 16a^2 e^{4ax}$।समीकरण में मान रखने पर: $16a^2 e^{4ax} - 3a(4a e^{4ax}) - e^{4ax} = 0$।$e^{4ax}$ से भाग देने पर: $16a^2 - 12a^2 - 1 = 0$।$4a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{4}$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।अब,$f(ax) = f(\frac{1}{2} x) = e^{4(\frac{1}{2})x} = e^{2x}$।क्षेत्रफल = $\int_{0}^{2} e^{2x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{e^4 - 1}{2}$।दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $C$ है।

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