ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ 2 cos x frac{d y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$. $2 \cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \c

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$. $2 \cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} - \frac{4y \sin x}{2 \cos x} = \sin x - 2y 	an x$. આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{d y}{d x} + 2y 	an x = \sin x$. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int 2 	an x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$. $I.F.$ વડે ગુણતા: $y \sec^2 x = \int \sin x \sec^2 x \, dx = \int 	an x \sec x \, dx = \sec x + C$. $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા: $0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$. તેથી,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $y = \cos x - 2 \cos^2 x$ થાય. હવે,$y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - 2 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$. આગળ,$y^{\prime}(x) = -\sin x - 4 \cos x(-\sin x) = -\sin x + 4 \sin x \cos x = -\sin x + 2 \sin 2x$. $y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2$. છેલ્લે,$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) + y(\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} + 2) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{(\tan^{-1} y) - x}$ ઉકેલો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \frac{3x^2y}{1+x^3} = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module