मान लीजिए ABCD एक समलंब चतुर्भुज है जिसके शीर | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2=4ax$ है जहाँ $a=1$ है। मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1)$ और $C$ के $(t_2^2, 2t_2)$ हैं। चूँकि $AD$ और $BC$,$y$-अक्ष के समांतर

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$\frac{75}{4}$

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(A) परवलय $y^2=4ax$ है जहाँ $a=1$ है। मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1)$ और $C$ के $(t_2^2, 2t_2)$ हैं। चूँकि $AD$ और $BC$,$y$-अक्ष के समांतर हैं,$A$ और $D$ का $x$-निर्देशांक समान है,और $B$ और $C$ का $x$-निर्देशांक समान है। अतः,$D$ का मान $(t_1^2, -2t_1)$ और $B$ का $(t_2^2, -2t_2)$ है।चूँकि विकर्ण $AC$ नाभि $S(1,0)$ से होकर गुजरता है,बिंदु $A, S, C$ संरेख हैं। नाभि से गुजरने वाली जीवा के लिए $t_1 t_2 = -1$,इसलिए $t_2 = -\frac{1}{t_1}$ है।निर्देशांक $A(t_1^2, 2t_1)$ और $C(\frac{1}{t_1^2}, -\frac{2}{t_1})$ हैं।$AC$ की लंबाई $\sqrt{(t_1^2 - \frac{1}{t_1^2})^2 + (2t_1 + \frac{2}{t_1})^2} = \frac{25}{4}$ है।सरल करने पर,$(t_1 + \frac{1}{t_1})^2 = \frac{25}{4}$ प्राप्त होता है।अतः,$t_1 + \frac{1}{t_1} = \frac{5}{2}$,जिससे $t_1 = 2$ या $t_1 = \frac{1}{2}$ मिलता है।$t_1 = 2$ लेने पर,$A(4, 4)$ और $D(4, -4)$ प्राप्त होते हैं। फिर $t_2 = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C(\frac{1}{4}, -1)$ और $B(\frac{1}{4}, 1)$ प्राप्त होते हैं।समांतर भुजाएँ $AD = 8$ और $BC = 2$ हैं। समलंब की ऊँचाई $x$-निर्देशांकों का अंतर है: $h = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (AD + BC) 	imes h = \frac{1}{2} (8 + 2) 	imes \frac{15}{4} = \frac{75}{4}$।

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