मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण cos x(ln(cos x)) | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(\ln(\cos x))^2 dy + (\sin x - 3y \sin x \ln(\cos x)) dx = 0$ है। $dx \cdot \cos x(\ln(\cos x))^2$ से भाग देने पर,हमें

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$\frac{1}{\ln 3 - \ln 4}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(\ln(\cos x))^2 dy + (\sin x - 3y \sin x \ln(\cos x)) dx = 0$ है। $dx \cdot \cos x(\ln(\cos x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - \frac{3 	an x}{\ln(\cos x)} y = -\frac{	an x}{(\ln(\cos x))^2}$। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3 	an x}{\ln(\cos x)}$ है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = (\ln(\cos x))^3$ है। हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है। $y(\ln(\cos x))^3 = -\int 	an x \ln(\cos x) dx + C$। $v = \ln(\cos x)$ लेने पर,$dv = -	an x dx$ प्राप्त होता है। $y(\ln(\cos x))^3 = \frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C$। $y(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\ln 2}$ दिया गया है,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \frac{1}{2 \ln(\cos x)}$। $x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\ln 3 - \ln 4}$।

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अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ के लिए $(-1 < x < 1)$ समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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