मान लीजिए f : (0, infty) rightarrow mathbb{R} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.मान लीजिए $\lambda x = t$,तो $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.समाकल में इन मानों को प्रतिस्थाप

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$112$

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(A) दिया गया है कि $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.मान लीजिए $\lambda x = t$,तो $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.समाकल में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$,जिसका अर्थ है $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$.कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x) = a(f(x) + x f^{\prime}(x))$.पदों को व्यवस्थित करने पर $(1 - a) f(x) = a x f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|f(x)| = \frac{1 - a}{a} \ln x + C$.चूंकि $f(1) = 1$,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$.$f(16) = \frac{1}{8}$ दिया गया है,इसलिए $16^{\frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$.चूंकि $16 = 2^4$,हमारे पास $2^{4 \cdot \frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$ है,इसलिए $\frac{4(1-a)}{a} = -3$.$4 - 4a = -3a \Rightarrow a = 4$.अतः,$f(x) = x^{\frac{1-4}{4}} = x^{-3/4}$.तब $f^{\prime}(x) = -\frac{3}{4} x^{-7/4}$.$f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} \left(2^{-4}\right)^{-7/4} = -\frac{3}{4} \cdot 2^7 = -\frac{3}{4} \cdot 128 = -3 \cdot 32 = -96$.इसलिए,$16 - f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = 16 - (-96) = 112$.

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