ધારો કે f:[0, infty) rightarrow mathbb{R} એક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$. લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = -2 + e^x \i

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$. લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = -2 + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt + e^x (e^{-x} f(x)) = -2 + (f(x) - (1 - 2x)) + f(x) = 2f(x) + 2x - 3$. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} - 2y = 2x - 3$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ છે. $IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = (2x - 3) e^{-2x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y e^{-2x} = \int (2x - 3) e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$. $y = -\frac{2x-3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + 1 + C e^{2x}$. $f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$ હોવાથી,$1 = -0 + 1 + C e^0 \Rightarrow C = 0$. આમ,$f(x) = 1 - x$. $y = 1 - x$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એ $(0,0), (1,0), (0,1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે. ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes 1 	imes 1 = \frac{1}{2}$.

Similar Questions

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

જો $y=\sin x+A \cos x$ એ $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ હોય, તો વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સુરેખ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module