ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x^2+1) y^{prime | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ છે. $(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos

Vedclass · Accepted Answer

$24$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ છે. $(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ અને $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ છે. ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે. $y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$. $y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$. તેથી,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$. હવે,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$. $x^2 \sin x$ અને $\sin x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-3, 3]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે. તેથી,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) y^{\prime}-2 x y=(x^4+2 x^2+1) \cos x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=1$ છે. તો $\int_{-3}^3 y(x) d x$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2 + 5$ નો વ્યાપક ઉકેલ .... છે.

જો $x \, dy = y(dx + y \, dy)$,$y(1) = 1$,$y(x) > 0$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

$\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module