मान लीजिए z और w दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रक | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|z| \le 1$ और $|w| \le 1$।हमें $|z + iw| = 2$ और $|z - i\overline{w}| = 2$ दिया गया है।मान लीजिए $z = a + ib$ और $w = c + id$ है। तब

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$1$ या $-1$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $|z| \le 1$ और $|w| \le 1$।हमें $|z + iw| = 2$ और $|z - i\overline{w}| = 2$ दिया गया है।मान लीजिए $z = a + ib$ और $w = c + id$ है। तब $|z|^2 = a^2 + b^2 \le 1$ और $|w|^2 = c^2 + d^2 \le 1$ होगा।$|z + iw| = |(a + ib) + i(c + id)| = |(a - d) + i(b + c)| = 2$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a - d)^2 + (b + c)^2 = 4$ $(i)$।$|z - i\overline{w}| = |(a + ib) - i(c - id)| = |(a - d) + i(b - c)| = 2$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a - d)^2 + (b - c)^2 = 4$ $(ii)$।समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर,हमें $(b + c)^2 - (b - c)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $4bc = 0$ में सरल हो जाता है,अतः $bc = 0$ है।यदि $b = 0$ है,तो $(a - d)^2 + c^2 = 4$ होगा। चूँकि $a^2 \le 1$ और $c^2 + d^2 \le 1$ है,$4$ प्राप्त करने का एकमात्र तरीका $a = 1, d = -1, c = 0$ या $a = -1, d = 1, c = 0$ है।दोनों स्थितियों में,$z = a + i(0) = \pm 1$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $z$ और $w$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z| \le 1$,$|w| \le 1$ और $|z + iw| = |z - i\overline{w}| = 2$ है। तो $z$ का मान ज्ञात कीजिए।

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माना $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z+2|=1$ और $\operatorname{Im}\left(\frac{z+1}{z+2}\right)=\frac{1}{5}$ है। तो $|\operatorname{Re}(\overline{z+2})|$ का मान ज्ञात कीजिए:

अनंत गुणनफल $(\cos \theta + i\sin \theta )(\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2})(\cos \frac{\theta }{2^2} + i\sin \frac{\theta }{2^2}) \dots$ का मान क्या है?

यदि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $x^2+2x+2=0$ के मूल हैं,तो $\frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${z_1} = 1 + 2i$ और ${z_2} = 3 + 5i$ है, तो $\operatorname{Re} \left( \frac{{\bar{z}_2}{z_1}}{{z_2}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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