मान लीजिए x_0 एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि e^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $e^{x_0}+x_0=0$। $g(x) = \frac{3x(e^x+1) - \alpha(e^x+x)}{3(e^x+1)} = x - \frac{\alpha(e^x+x)}{3(e^x+1)}$। चूंकि $e^{x_0}+x_0=0$,हमारे

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$\alpha=3$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow x_0}\left|\frac{g(x)+e^{x_0}}{x-x_0}\right|=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $e^{x_0}+x_0=0$। $g(x) = \frac{3x(e^x+1) - \alpha(e^x+x)}{3(e^x+1)} = x - \frac{\alpha(e^x+x)}{3(e^x+1)}$। चूंकि $e^{x_0}+x_0=0$,हमारे पास $g(x_0) = x_0 - 0 = x_0$ है। अतः,$g(x_0) + e^{x_0} = x_0 + e^{x_0} = 0$। $L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow x_0}\left|\frac{g(x)+e^{x_0}}{x-x_0}\right| = |g'(x_0)|$। $g'(x) = 1 - \frac{\alpha}{3} \left( \frac{(e^x+1)(e^x+1) - (e^x+x)e^x}{(e^x+1)^2} \right)$। $x=x_0$ पर,$e^{x_0}+x_0=0$,इसलिए $g'(x_0) = 1 - \frac{\alpha}{3} \left( \frac{(e^{x_0}+1)^2 - 0}{(e^{x_0}+1)^2} \right) = 1 - \frac{\alpha}{3}$। $\alpha=3$ के लिए,$|g'(x_0)| = |1 - \frac{3}{3}| = 0$। इसलिए,$\alpha=3$ के लिए कथन सत्य है।

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