मान लीजिए S परवलय y^2=x की उन जीवाओं के मध्य- | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^2=x$ के लिए मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $ky - \frac{1}{2}(x+h) =

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$A, C$

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(B) मान लीजिए जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^2=x$ के लिए मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $ky - \frac{1}{2}(x+h) = k^2 - h$,अर्थात $x - 2ky + 2k^2 - h = 0$ है।परवलय $y^2=4ax$ और जीवा के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3} (h-k^2)^{3/2} = \frac{4}{3}$ होता है।अतः,$(h-k^2)^{3/2} = 1$,जिसका अर्थ है $h-k^2=1$,या $x-y^2=1$। यह वक्र $S$ है।विकल्पों की जाँच करने पर: $(4, \sqrt{3})$ के लिए,$4-(\sqrt{3})^2 = 4-3=1$। अतः $(4, \sqrt{3}) \in S$। $(5, \sqrt{2})$ के लिए,$5-(\sqrt{2})^2 = 5-2=3 
eq 1$। अतः $(B)$ गलत है।क्षेत्र $R$,$x=1$ से $x=4$ तक $y^2=x$ और $y^2=x-1$ द्वारा घिरा है।क्षेत्रफल $= \int_1^4 (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) dx = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{2}{3} (x-1)^{3/2}]_1^4 = \frac{2}{3} (8 - 3\sqrt{3} - 1) = \frac{14}{3} - 2\sqrt{3}$।अतः,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं।

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