मान लीजिए f(x)=e^x-x और g(x)=x^2-x, forall x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = e^x - x$ और $g(x) = x^2 - x$। $h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = e^{x^2-x} - (x^2-x) = e^{x^2-x} - x^2 + x$। अब,$h(x)$ का $x$ के साप

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$\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup [1, \infty)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = e^x - x$ और $g(x) = x^2 - x$। $h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = e^{x^2-x} - (x^2-x) = e^{x^2-x} - x^2 + x$। अब,$h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $h'(x) = e^{x^2-x}(2x-1) - 2x + 1$। $h'(x) = (2x-1)(e^{x^2-x} - 1)$। फलन $h(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $h'(x) \geq 0$ की आवश्यकता है। $(2x-1)(e^{x^2-x} - 1) \geq 0$। मान लीजिए $u = x^2-x$ है। चूँकि $e^u - 1$ का चिह्न $u$ के समान होता है,इसलिए $(2x-1)(x^2-x) \geq 0$। $(2x-1)x(x-1) \geq 0$। क्रांतिक बिंदुओं $0, \frac{1}{2}, 1$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर: जब $x \in [0, \frac{1}{2}]$ है,तो $(2x-1) \leq 0$ और $x(x-1) \leq 0$ होता है,इसलिए गुणनफल $\geq 0$ है। जब $x \in [1, \infty)$ है,तो $(2x-1) > 0$ और $x(x-1) \geq 0$ होता है,इसलिए गुणनफल $\geq 0$ है। अतः,$h(x)$ अंतराल $x \in [0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ में वर्धमान है।

मान लीजिए $f(x)=e^x-x$ और $g(x)=x^2-x, \forall x \in R$ है। तो $x \in R$ का वह समुच्चय ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $h(x)=(fog)(x)$ वर्धमान है।

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