मान लीजिए कि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है जो $R$ पर $a * b = \frac{a+b}{4}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a, b \in R$ है। तो संक्रिया $*$ है:

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

मान लीजिए कि $*$ समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित करें कि क्या $a, b \in Q$ के लिए $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।

एक अरिक्त समुच्चय $X$ के घात समुच्चय $P(X)$ में,एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $A * B = A \cup B, \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $*$ के अंतर्गत,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

मान लीजिए कि $*^{\prime}$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $a *^{\prime} b = a$ और $b$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या संक्रिया $*^{\prime}$ ऊपर दिए गए अभ्यास $4$ में परिभाषित संक्रिया $*$ के समान है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a * b = a + ab$ के रूप में परिभाषित है। क्या यह संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय और साहचर्य है?