मान लीजिए n एक धनात्मक पूर्णांक है। यदि (1+x) | vedclass

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Question

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $2^{	ext{nd}}$,$3^{	ext{rd}}$ और $4^{	ext{th}}$ पदों के गुणांक क्रमशः $\binom{n}{1}$,$\binom{n}{2}$ और $\binom{n}{3}$

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$7$

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(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $2^{	ext{nd}}$,$3^{	ext{rd}}$ और $4^{	ext{th}}$ पदों के गुणांक क्रमशः $\binom{n}{1}$,$\binom{n}{2}$ और $\binom{n}{3}$ हैं।चूँकि ये $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2 \binom{n}{2} = \binom{n}{1} + \binom{n}{3}$ होगा।द्विपद गुणांकों का विस्तार करने पर: $2 	imes \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.$n$ से विभाजित करने पर ($n > 0$ है): $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$.$6$ से गुणा करने पर: $6n - 6 = 6 + (n^2 - 3n + 2)$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 9n + 14 = 0$.द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(n-7)(n-2) = 0$.अतः,$n = 7$ या $n = 2$.$4^{	ext{th}}$ पद के अस्तित्व के लिए,$n \ge 3$ होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।

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