ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$. જો $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$ હોય,તો $f(A)$ શું થાય?

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે,જ્યાં $A$ સંમિત શ્રેણિક છે અને $B$ વિસંમિત શ્રેણિક છે. તો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $(A^2 B^2 - B^2 A^2) X = 0$,જ્યાં $X$ એ અજ્ઞાત ચલનો $3 \times 1$ સ્તંભ શ્રેણિક છે અને $0$ એ $3 \times 1$ શૂન્ય શ્રેણિક છે,તેના માટે:

$3$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માં,$a_{ii} = i + m_i$,જ્યાં $i = 1, 2, 3$ અને $m_i$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ ના બિંદુ $(9, -6)$ માંથી પસાર થતા $3$ અભિલંબના ઢાળ છે (તેમના નિરપેક્ષ મૂલ્યના ચડતા ક્રમમાં). શ્રેણિકના બાકીના તમામ ઘટકો $1$ છે. $\det(A)$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે ત્રણ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ છે. તો $Tr(A) + Tr\left( \frac{ABC}{2} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^3}{8} \right) + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \sin \beta \cos \beta \\ \sin \beta \cos \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ એવા હોય કે જેથી $AB$ શૂન્ય શ્રેણિક બને,તો નીચેનામાંથી કયું $\frac{\pi}{2}$ નો એકી પૂર્ણાંક ગુણક હોવું જોઈએ?

ધારો કે $M$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ સંમિત શ્રેણિક છે. તો $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોય જો: