मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ तीन असमतलीय सदिश हैं। उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,जिनमें से एक $a+2b-5c$ और $-a-2b-3c$ बिंदुओं को जोड़ती है और दूसरी $-4c$ और $6a-4b+4c$ बिंदुओं को जोड़ती है।

यदि $12 \hat{i}-12 \hat{j}-18 \hat{k}$,$-3 \hat{i}-6 \hat{j}-9 \hat{k}$ और $3 \hat{i}+3 \hat{j}-24 \hat{k}$ क्रमशः $\triangle ABC$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश हैं,तो $\triangle ABC$ के अंतःकेंद्र का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि $a=\hat{i}+\hat{j}+t \hat{k}$ और $b=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ है, तो $t$ के वे मान जिनके लिए $(a+b)$ और $(a-b)$ लंबवत हैं, हैं:

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो आसन्न भुजाएँ $\vec{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं। भुजा $\vec{AD}$ को समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ से घुमाया जाता है ताकि $\vec{AD}$, $\vec{AD'}$ बन जाए। यदि $\vec{AD'}$, भुजा $\vec{AB}$ के साथ समकोण बनाता है, तो कोण $\alpha$ का कोसाइन है...

कथन $(A)$: $a, b, c, d$ $4$ बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं जैसे कि $2a - 3b + 7c - 6d = 0 \Rightarrow a, b, c, d$ समतलीय हैं।
कारण $(R)$: $a, b, c$ स्थिति सदिश वाले तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $\vec{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$ और $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ है। मान लीजिए $\vec{d}$ एक ऐसा सदिश है कि $|\vec{d}-\vec{a}|=\sqrt{11}$, $|\vec{c}\times\vec{d}|=3$ और $\vec{c}$ तथा $\vec{d}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है। तो $\vec{a}\cdot\vec{d}$ का मान ज्ञात कीजिए।