मान लीजिए f(x) = sin x + cos x और g(x) = x^2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$। सबसे पहले,हम संयोजन $g(f(x))$ ज्ञात करते हैं: $g(f(x)) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$ $= (\s

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$[ - \frac{\pi }{4}, \frac{\pi }{4} ]$

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(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$। सबसे पहले,हम संयोजन $g(f(x))$ ज्ञात करते हैं: $g(f(x)) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$ $= (\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x) - 1$ $= (1 + \sin 2x) - 1 = \sin 2x$। किसी फलन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसे एकैकी और आच्छादक (bijective) होना चाहिए। फलन $h(x) = \sin 2x$ उस अंतराल में व्युत्क्रमणीय है जहाँ तर्क $2x$ प्रतिलोम ज्या फलन की मुख्य शाखा में स्थित हो,अर्थात $[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$। अतः,हमें आवश्यकता है: $-\frac{\pi}{2} \le 2x \le \frac{\pi}{2}$ $2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$। इसलिए,$g(f(x))$ अंतराल $x \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ]$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

मान लीजिए $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है। तब $g(f(x))$ किस $x \in $ के लिए व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

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