मान लीजिए कि A और B ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं और o | vedclass

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Question

(A) चूंकि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं, हमारे पास $AA^{	op} = I$ और $BB^{	op} = I$ है। दोनों तरफ सारणिक लेने पर, हमें $\operatorname{det}(A)\oper

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$A+B$ सिंगुलर है

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(A) चूंकि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं, हमारे पास $AA^{	op} = I$ और $BB^{	op} = I$ है। दोनों तरफ सारणिक लेने पर, हमें $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(A^{	op}) = 1$ और $\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(B^{	op}) = 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $\operatorname{det}(A^{	op}) = \operatorname{det}(A)$, हमारे पास $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$ और $(\operatorname{det}(B))^2 = 1$ है, जिसका अर्थ है $\operatorname{det}(A) = \pm 1$ और $\operatorname{det}(B) = \pm 1$। दिया गया है $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$, इसलिए $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$। अब, $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{-1}B))$ पर विचार करें। चूंकि $A$ ऑर्थोगोनल है, $A^{-1} = A^{	op}$। इसलिए, $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{	op}B))$। हम $A+B = A(I + A^{	op}B) = A(B^{	op}B + A^{	op}B) = A(B^{	op} + A^{	op})B$ लिख सकते हैं। सारणिक लेने पर: $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B^{	op} + A^{	op}) \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) \operatorname{det}((A+B)^{	op})$। चूंकि $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$, हमारे पास $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) = -(\operatorname{det}(B))^2 = -1$ है। इस प्रकार, $\operatorname{det}(A+B) = -1 \cdot \operatorname{det}(A+B)$। इसका अर्थ है $2 \operatorname{det}(A+B) = 0$, इसलिए $\operatorname{det}(A+B) = 0$। अतः, $A+B$ एक सिंगुलर आव्यूह है।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं और $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$ है। तो

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यदि $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$ है,तो $x=$

मान लीजिए $S = \{ m \in \mathbb{Z} : A^{m^2} + A^m = 3I - A^{-6} \}$,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है। तो $n(S)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & k \end{bmatrix}$ और $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$ है। यदि $A$,$f(A) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो:

यदि $a > 0$ और $ax^2 + 2bx + c$ का विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$ है

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