माना $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और प्रतिचित्रण $f: R \rightarrow R$ तथा $g: R \rightarrow R$ को $f(x) = 5 - x^2$ और $g(x) = 3x - 4$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $(f \circ g)(-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{4x+7}{7x-4}$ है,तो $f\{f[f(2)]\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि यदि $f: R - \{\frac{7}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{3}{5}\}$ को $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और $g: R - \{\frac{3}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{7}{5}\}$ को $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f \circ g = I_{A}$ और $g \circ f = I_{B}$ है,जहाँ $A = R - \{\frac{3}{5}\}$,$B = R - \{\frac{7}{5}\}$; $I_{A}(x) = x, \forall x \in A$,$I_{B}(x) = x, \forall x \in B$ को क्रमशः समुच्चय $A$ और $B$ पर तत्समक फलन कहा जाता है।

यदि $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ ऐसे फलन हैं कि $g \circ f: A \rightarrow C$ आच्छादक (onto) है,तो आवश्यक शर्त क्या है?

यदि सभी $x \in [1, \infty)$ के लिए $f(x)=e^x$ और $g(x)=\ln(x)$ है,तो $f \circ g$ . . . . . . है।

माना $f(x) = \sin \left(\frac{\pi}{6} \sin \left(\frac{\pi}{2} \sin x\right)\right)$ सभी $x \in R$ के लिए और $g(x) = \frac{\pi}{2} \sin x$ सभी $x \in R$ के लिए। माना $(f \circ g)(x)$,$f(g(x))$ को दर्शाता है और $(g \circ f)(x)$,$g(f(x))$ को दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A)$ $f$ का परिसर $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ है
$(B)$ $f \circ g$ का परिसर $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ है
$(C)$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\pi}{6}$
$(D)$ एक ऐसा $x \in R$ है जिसके लिए $(g \circ f)(x) = 1$