मान लीजिए f_1(x) = e^x, f_2(x) = e^{f_1(x)}, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f_1(x) = e^x$ और $f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$.$f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}$ के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,

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$f_n(x) f_{n-1}(x) \ldots f_1(x)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f_1(x) = e^x$ और $f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$.$f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}$ के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर, हमें मिलता है $\ln(f_n(x)) = f_{n-1}(x)$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{f_n(x)} \cdot f_n'(x) = f_{n-1}'(x)$$\Rightarrow f_n'(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}'(x) \quad \dots (i)$$n=1$ के लिए, $f_1'(x) = e^x = f_1(x)$.$n=2$ के लिए, $f_2'(x) = f_2(x) \cdot f_1'(x) = f_2(x) \cdot f_1(x)$.$n=3$ के लिए, $f_3'(x) = f_3(x) \cdot f_2'(x) = f_3(x) \cdot f_2(x) \cdot f_1(x)$.गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, किसी भी $n \geq 1$ के लिए, $\frac{d}{dx} f_n(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}(x) \cdot \ldots \cdot f_1(x)$।

मान लीजिए $f_1(x) = e^x, f_2(x) = e^{f_1(x)}, \ldots, f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$ सभी $n \geq 1$ के लिए। तो किसी भी निश्चित $n$ के लिए, $\frac{d}{dx} f_n(x)$ है:

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