मान लीजिए कि f: left[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2 | vedclass

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Question

(B) हमें सीमा $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ दी गई है।हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac

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$2$

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(B) हमें सीमा $\alpha = \lim _{x ightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ दी गई है।हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x ightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2}-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।चूँकि $\lim _{x ightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} = 1$,इसलिए $\lim _{x ightarrow 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 1$ होगा।अब,पहले भाग $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है) पर एल-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर:$\lim _{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{1} = f(0)$.चूँकि $f(0) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमें $\alpha = \frac{1}{2} 	imes 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अंत में,$8 \alpha^2 = 8 	imes \left(\frac{1}{2}ight)^2 = 8 	imes \frac{1}{4} = 2$ होगा।

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