मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है जो | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$। अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए, दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) =

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(A) दिया गया है, $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$। अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए, दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = f(x)$। यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। चरों को अलग करने पर, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $f(x) = k e^{x}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। अब, मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $f(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0$। $f(0) = k e^{0} = k$ का उपयोग करने पर, हमें $k = 0$ प्राप्त होता है। अतः, सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0 \cdot e^{x} = 0$ है। इस प्रकार, $f(\log_{e} 5) = 0$।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। तो, $f(\log_{e} 5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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