मान लीजिए कि A, B और C वास्तविक प्रविष्टियों | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $B = (I + A)^{-1}$ और $A + C = I$ है। $A + C = I$ से, हमें $A = I - C$ प्राप्त होता है। इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर: $B = (

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(B) दिया गया है कि $B = (I + A)^{-1}$ और $A + C = I$ है। $A + C = I$ से, हमें $A = I - C$ प्राप्त होता है। इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर: $B = (I + (I - C))^{-1} = (2I - C)^{-1}$। इसका अर्थ है कि $B(2I - C) = I$, इसलिए $2B - BC = I$। इसी प्रकार, $(2I - C)B = I$, इसलिए $2B - CB = I$। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, $2B - BC = 2B - CB$, जो दर्शाता है कि $BC = CB$ है। दिया गया है कि $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$, इसलिए $CB = \begin{bmatrix} 1 & -5 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है। हमें $CB \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \ -6 \end{bmatrix}$ को हल करना है। मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 1 & -5 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|M| = (1)(2) - (-5)(-1) = 2 - 5 = -3$ है। व्युत्क्रम आव्यूह $M^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है। अतः $\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 12 \ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 24 - 30 \ 12 - 6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -6 \ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ -2 \end{bmatrix}$। इस प्रकार, $x_1 = 2$ और $x_2 = -2$ है। अतः, $x_1 + x_2 = 2 + (-2) = 0$।

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