मान लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका लंबक | vedclass

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Question

(D) एक समबाहु त्रिभुज में, लंबकेंद्र केंद्रक के साथ संपाती होता है। मान लीजिए $O(0,0)$ लंबकेंद्र है। शीर्षलंब $AD$, $O$ से होकर गुजरता है। $BC$ की ढाल

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$4$

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(D) एक समबाहु त्रिभुज में, लंबकेंद्र केंद्रक के साथ संपाती होता है। मान लीजिए $O(0,0)$ लंबकेंद्र है। शीर्षलंब $AD$, $O$ से होकर गुजरता है। $BC$ की ढाल $m_{BC} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ है। चूंकि $AD \perp BC$, $AD$ की ढाल $m_{AD} = 2\sqrt{2}$ है। $AD$ का समीकरण $y = 2\sqrt{2}x$ है, इसलिए $\beta = 2\sqrt{2}\alpha$ है। $O(0,0)$ से $BC$ $(x+2\sqrt{2}y-4=0)$ की दूरी $OD = \frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$ है। समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक शीर्षलंब को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः, $AO = 2OD = 2(\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}$ है। शीर्षलंब $AD$ की कुल लंबाई $AD = AO + OD = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4$ है। शीर्ष $A$, रेखा $y = 2\sqrt{2}x$ पर रेखा $BC$ से $4$ की दूरी पर स्थित है। $A$ के निर्देशांक $(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ हैं। $A$ से $x+2\sqrt{2}y-4=0$ की दूरी $\frac{|\alpha+2\sqrt{2}(2\sqrt{2}\alpha)-4|}{\sqrt{1+8}} = \frac{|9\alpha-4|}{3} = 4$ है। इससे $9\alpha-4 = 12$ या $9\alpha-4 = -12$ प्राप्त होता है। अतः $\alpha = \frac{16}{9}$ या $\alpha = -\frac{8}{9}$ है। चूंकि $O(0,0)$ और $A$ को $BC$ के एक ही तरफ होना चाहिए (क्योंकि $O$ केंद्रक है), हम $(0,0)$ पर $x+2\sqrt{2}y-4$ का मान देखते हैं, जो $-4$ है। $A(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ के लिए, व्यंजक $9\alpha-4$ है। अतः $9\alpha-4 हमें $|\alpha+\sqrt{2}\beta| = |-\frac{8}{9} + \sqrt{2}(-\frac{16\sqrt{2}}{9})| = |-\frac{8}{9} - \frac{32}{9}| = |-\frac{40}{9}| = \frac{40}{9} \approx 4.44$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात करना है। महत्तम पूर्णांक $4$ है।

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$(0, 0)$,$(3, 0)$ और $(0, 4)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का परिकेंद्र क्या होगा?

एक त्रिभुज के दो शीर्ष $(-1, 4)$ और $(5, 2)$ हैं। यदि इसका केंद्रक (Centroid) $(0, -3)$ है,तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।

यदि $(\alpha, \beta)$ त्रिभुज $ABC$ का लंबकेंद्र (orthocentre) है जिसके शीर्ष $A(3, -7)$,$B(-1, 2)$ और $C(4, 5)$ हैं,तो $9\alpha - 6\beta + 60$ का मान ज्ञात कीजिए।

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