ધારો કે $A(1,0)$, $B(2,-1)$, અને $C(\frac{7}{3},\frac{4}{3})$ ત્રણ બિંદુઓ છે. જો $\angle ABC$ ના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\alpha x+\beta y=5$ હોય, તો $\alpha^2+\beta^2$ ની કિંમત શોધો.

એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ રેખાઓ $x - y + 2 = 0$ અને $7x - y + 3 = 0$ ને સમાંતર છે. જો સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $P(1, 2)$ માં છેદતા હોય અને શિરોબિંદુ $A$ (ઉગમબિંદુથી અલગ) $y$-અક્ષ પર હોય,તો $A$ નો $y$-યામ શોધો.

સમદ્રિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓના સમીકરણ $7x - y + 3 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ છે. જો તેની ત્રીજી બાજુ બિંદુ $(1, -10)$ માંથી પસાર થતી હોય,તો તેની ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(-2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે $A, B, C$ એ $xy$-સમતલમાં ત્રણ બિંદુઓ છે,જેના સ્થાન સદિશો ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં અનુક્રમે $\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$,$\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ અને $a \hat{i} + (1 - a) \hat{j}$ છે. જો સદિશો $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OB}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખાથી બિંદુ $C$ નું અંતર $\frac{9}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $u \equiv ax + by + a \sqrt[3]{b} = 0$ અને $v \equiv bx - ay + b \sqrt[3]{a} = 0$ જ્યાં $a, b \in R$ બે સીધી રેખાઓ છે. શૂન્યતર વાસ્તવિક $k_1$ અને $k_2$ માટે $k_1u - k_2v = 0$ અને $k_1u + k_2v = 0$ દ્વારા બનતા ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ શું છે?