माना [bullet] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता | vedclass

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Question

(C) फलन $g(x) = |x|[x^2]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है, बशर्ते $|x| 
eq 0$ हो।
$[x^2]$ का मान $x^2 \in \mathbb{Z}$ पर असंतत होता है।
$x \in

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$1-\sqrt{2}$

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(C) फलन $g(x) = |x|[x^2]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है, बशर्ते $|x| 
eq 0$ हो।
$[x^2]$ का मान $x^2 \in \mathbb{Z}$ पर असंतत होता है।
$x \in (-2, 2)$ के लिए, $x^2 \in [0, 4)$ है।
$[0, 4)$ में पूर्णांक $0, 1, 2, 3$ हैं।
अतः, $x^2 = 1, 2, 3$ से $x = \pm 1, \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x=0$ पर, $g(x) = |x|[x^2] = 0 \cdot [0] = 0$, और $\lim_{x 	o 0} |x|[x^2] = 0$, इसलिए $g(x)$ बिंदु $x=0$ पर संतत है।
अतः, $S = \{-1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$ है।
अब, $f(x) = \min \{\sqrt{2}x, x^2\}$ है।
$f(-1) = \min \{-\sqrt{2}, 1\} = -\sqrt{2}$।
$f(1) = \min \{\sqrt{2}, 1\} = 1$।
$f(-\sqrt{2}) = \min \{-2, 2\} = -2$।
$f(\sqrt{2}) = \min \{2, 2\} = 2$।
$f(-\sqrt{3}) = \min \{-\sqrt{6}, 3\} = -\sqrt{6}$।
$f(\sqrt{3}) = \min \{\sqrt{6}, 3\} = \sqrt{6}$।
इन मानों का योग: $\sum_{x \in S} f(x) = -\sqrt{2} + 1 - 2 + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 1 - \sqrt{2}$।

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