माना S = {z in mathbb{C} : 4z^2 + overline{z} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $4z^2 + \overline{z} = 0$। मान लीजिए $z = x + iy$ है।समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $4(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$।$4(x^2 - y^2 + 2xyi)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{16}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $4z^2 + \overline{z} = 0$। मान लीजिए $z = x + iy$ है।समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $4(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$।$4(x^2 - y^2 + 2xyi) + x - iy = 0$।$4x^2 - 4y^2 + x + i(8xy - y) = 0$।वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:$4x^2 - 4y^2 + x = 0$ और $y(8x - 1) = 0$।स्थिति $1$: $y = 0$। तब $4x^2 + x = 0 \Rightarrow x(4x + 1) = 0$। अतः $x = 0$ या $x = -1/4$।इससे $z_1 = 0$ $(|z_1|^2 = 0)$ और $z_2 = -1/4$ $(|z_2|^2 = 1/16)$ प्राप्त होते हैं।स्थिति $2$: $x = 1/8$। तब $4(1/8)^2 - 4y^2 + 1/8 = 0$।$4/64 - 4y^2 + 1/8 = 0$ $\Rightarrow 1/16 + 1/8 = 4y^2$ $\Rightarrow 3/16 = 4y^2$ $\Rightarrow y^2 = 3/64$।अतः $y = \pm \sqrt{3}/8$। इससे $z_3 = 1/8 + i\sqrt{3}/8$ और $z_4 = 1/8 - i\sqrt{3}/8$ प्राप्त होते हैं।$|z_3|^2 = (1/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$।$|z_4|^2 = (1/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$।मापांकों के वर्गों का योग: $0 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16$।

माना $S = \{z \in \mathbb{C} : 4z^2 + \overline{z} = 0\}$ है। तब $\sum_{z \in S} |z|^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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