ધારો કે PQ એ અતિવલય frac{x^2}{4} - frac{y^2}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ આપેલ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $1 + \frac{b^2}{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8\sqrt{3}}{5}$

Vedclass · Answer

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ આપેલ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.તેથી, અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ છે.ધારો કે $P = (x_0, y_0)$. $PQ$ એ $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી અને $OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી, $\angle POM = 30^{\circ}$ થાય, જ્યાં $M$ એ $P$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબપાદ છે.$	riangle OMP$ માં, $	an 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.$P$ અતિવલય પર હોવાથી, $\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.ત્રિકોણ $OPQ$ ની ઊંચાઈ $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} 	imes \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.ત્રિકોણનો પાયો $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.$	riangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} 	imes \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} 	imes \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

Similar Questions

જો અતિવલય (hyperbola) ના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 6$ ના સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર,જે રેખા $x - 2y + 5 = 0$ ને લંબ છે,તે શોધો.

$(0, \pm 3)$ નાભિ અને $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module