मान लीजिए f(x) = begin{cases} x^p sin frac{1} | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।चूँकि $\lim_{x 	o 0} x^p \sin \frac{1}{x} = 0$ केवल तभी होता है

Vedclass · Accepted Answer

$0 < p \le 1$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।चूँकि $\lim_{x 	o 0} x^p \sin \frac{1}{x} = 0$ केवल तभी होता है जब $p > 0$ हो,इसलिए फलन $p > 0$ के लिए संतत है।$f(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,सीमा $f'(0) = \lim_{x 	o 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ का अस्तित्व होना चाहिए।$f'(0) = \lim_{x 	o 0} \frac{x^p \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x 	o 0} x^{p-1} \sin \frac{1}{x}$।यह सीमा अस्तित्व में है और $0$ के बराबर है यदि $p - 1 > 0$,अर्थात $p > 1$ हो।यदि $p \le 1$ है,तो सीमा $\lim_{x 	o 0} x^{p-1} \sin \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।अतः,$0 < p \le 1$ के लिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^p \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। तब $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है यदि:

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