एक फलन y=f(x) जिसमें f(-1)=-249 है, का कोई अध | vedclass

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Question

(A) यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ का $x=5$ पर $f(5)=75$ के साथ एक न्यूनतम मान है। यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 5]$ पर सतत होता, तो चरम मान प्रमेय (Extreme V

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$(-1,5)$ में किसी बिंदु पर, $f(x)$ असतत (discontinuous) है

Vedclass · Answer

(A) यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ का $x=5$ पर $f(5)=75$ के साथ एक न्यूनतम मान है। यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 5]$ पर सतत होता, तो चरम मान प्रमेय (Extreme Value Theorem) के अनुसार, इसे इस बंद अंतराल पर एक अधिकतम और एक न्यूनतम मान प्राप्त करना ही होता। चूंकि $f(-1) = -249$ और $f(5) = 75$ है, यदि फलन सतत होता, तो $(-1, 5)$ में कोई ऐसा $c$ मौजूद होता जहाँ $f(c)$ अधिकतम होता या फलन को $-249$ से $75$ तक बढ़ना पड़ता। हालाँकि, प्रश्न में कहा गया है कि फलन का कोई अधिकतम मान नहीं है और $x=5$ पर केवल एक न्यूनतम मान है। यदि $f(x)$ सतत होता, तो यह दी गई शर्तों का खंडन करता क्योंकि एक बंद अंतराल पर सतत फलन का अधिकतम मान होना अनिवार्य है। इसलिए, अधिकतम मान न होने के लिए $f(x)$ को अंतराल $(-1, 5)$ में किसी बिंदु पर असतत होना ही चाहिए।

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फलन $f(x) = \begin{cases} 1+|\sin x|^{a/|\sin x|}, & -\pi / 6 < x < 0 \\ b, & x = 0 \\ e^{\tan 2 x / \tan 3 x}, & 0 < x < \pi / 6 \end{cases}$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x-|x|}{x}, & x < 0 \\ b\left(\frac{5x^2+a}{x^2-3x+2}\right), & 0 \leq x \leq 1 \\ -14, & x \geq 3 \end{cases}$ एक $R$ पर सतत फलन है,तो $(a, b) =$

$f(x) = |x| - |x + 1|$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ के सभी असांतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है और $x = 0$ पर एक अपरिहार्य (irremovable) असांतत्यता रखता है?

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