फलन f(x) = begin{cases} 1+|sin x|^{a/|sin x|} | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(

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$a = 2 / 3, b = e^{2 / 3}$

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(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x ightarrow 0^+} f(x)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^-} (1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|}$.चूंकि यह $1^\infty$ रूप है,हम $\lim_{x ightarrow c} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x ightarrow c} g(x)h(x)}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = e^{\lim_{x ightarrow 0} |\sin x| \cdot \frac{a}{|\sin x|}} = e^a$.अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} e^{\frac{	an 2x}{	an 3x}} = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{	an 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{	an 3x} \cdot \frac{2x}{3x}} = e^{1 \cdot 1 \cdot 2/3} = e^{2/3}$.चूंकि $f(0) = b$,सीमाओं की तुलना करने पर:$e^a = b = e^{2/3}$.अतः,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \begin{cases} 1+|\sin x|^{a/|\sin x|}, & -\pi / 6 < x < 0 \\ b, & x = 0 \\ e^{\tan 2 x / \tan 3 x}, & 0 < x < \pi / 6 \end{cases}$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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यदि फलन $f(x)$,जो नीचे परिभाषित है,हर जगह सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए: $f(x)=\begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1 + kx} - \sqrt{1 - kx}}{x} & \text{for } -1 \le x < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & \text{for } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $k = $

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