मान लीजिए f(x) = int frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$.मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तब $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$.इन मानों को

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$\log(1 + \sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$.मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तब $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \int \frac{	an^2 	heta \cdot \sec^2 	heta \, d	heta}{\sec^2 	heta (1 + \sec 	heta)} = \int \frac{	an^2 	heta \, d	heta}{1 + \sec 	heta}$.$	an^2 	heta = \sec^2 	heta - 1$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \int \frac{\sec^2 	heta - 1}{1 + \sec 	heta} \, d	heta = \int \frac{(\sec 	heta - 1)(\sec 	heta + 1)}{1 + \sec 	heta} \, d	heta = \int (\sec 	heta - 1) \, d	heta$.समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = \log|\sec 	heta + 	an 	heta| - 	heta + C$.चूंकि $x = 	an 	heta$,इसलिए $\sec 	heta = \sqrt{1 + x^2}$ और $	heta = 	an^{-1} x$.अतः,$f(x) = \log|\sqrt{1 + x^2} + x| - 	an^{-1} x + C$.चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,तो $\log(1) - 0 + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$.इसलिए,$f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2}) - 	an^{-1} x$.$x = 1$ के लिए,$f(1) = \log(1 + \sqrt{2}) - 	an^{-1}(1) = \log(1 + \sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$.

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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