मान लीजिए $f(x) = \sin x$ और $g(x) = \ln |x|$ है। यदि संयुक्त फलनों $fog$ और $gof$ के परिसर (ranges) क्रमशः $R_1$ और $R_2$ हैं,तो:

यदि $f(x) = \frac{2x - 3}{3x - 2}$ और $f_n(x) = (f \circ f \circ f \circ \dots \circ f)(x)$ ($n$ बार), तो $f_{32}(x) = $

मान लीजिए $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,और $Z$ सभी पूर्णांकों का समुच्चय है। फलन $f: N \rightarrow Z$ और $g: Z \rightarrow N$ पर विचार करें जो $f(n) = \begin{cases} (n+1)/2 & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ (4-n)/2 & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$ और $g(n) = \begin{cases} 3+2n & \text{यदि } n \geq 0 \\ -2n & \text{यदि } n < 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं। सभी $n \in N$ के लिए $(g \circ f)(n) = g(f(n))$ और सभी $n \in Z$ के लिए $(f \circ g)(n) = f(g(n))$ परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो ऐसे फलन हैं कि $g(x) = x - \frac{1}{x}$ और $(f \circ g)(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ है,तो $f'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ को $f(x)=2x+3$ और $g(x)=x^2+7$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $x$ के वे मान क्या हैं जिनके लिए $g(f(x))=8$ है?

यदि $f(x)=x^2+1$ और $g(x)=\frac{1}{x}$ है,तो $x=1$ पर $f(g(g(f(x))))$ का मान ज्ञात कीजिए।